Auteur: Sayaka
Date: 07-03-2007 23:22
Coucou tout le monde ! Eh bien décidément je galère en Arithmétique ! ;) J'ai un DM à faire et j'ai quelques petits problèmes... :-/ Je vous transcris le sujet :
"
Ex 1 :
1.Soient a et b des entiers naturels non nuls réels tels que PGCD (a+b ; ab) = p, où p est un nombre premier.
a) Démontrer que p divise a^2. (On remarquera que a^2 = a(a+b)-ab).)
b) En déduire que p divise a. On constate donc de la même façon que p divise b.
c) Démontrer que PGCD(a,b) = p.
2. On désigne par a et b des entiers naturels tels que a inférieur ou égal à b.
a) Résoudre le système (Pgcd(a,b)=5 et PPCM(a,b)= 170).
b) En déduire les solutions de du système (PGCD(a+b,ab)=5 et PPCM(a,b)=170).
Ex 2 :
1. Soit x un entier relatif. déterminer le reste de la division euclidienne de x au cube par 9, en dicscutant suivant les valeurs de x.
En déduire que pour tout entier relatif x, on a :
. x^3 congru à 0 modulo 9 correspond à x congru à 0 modulo 3.
. x^3 congru à 1 modulo 9 correspond à x congru à 1 modulo 3.
. x^3 congru à 8 modulo 9 correspond à x congru à 2 modulo 3.
2. On considère trois entiers relatifs : x, y et z tels que x^3 + y^3 + z^3 soit divisible par 9. Démontrer que l'un des nombres x, y et z est divisible par 3.
Alors pour le premier exercice j'ai dit que p/(a+b) donc p/a(a+b). Or p/ab donc p/a(a+b)-ab soit p/a^2.
Ensuite pour b), p/a^2 correspond à p/a*a donc p/a. (Mais ça me semble un peu foireux, non ?^^)
Après la c) je sèche, j'ai essayé dans tous les sens et je n'y arrive pas... 
Quant à la deux, si vous pouviez m'expliquer la différence entre la a) et la b)... ^^
Dans l'exercice deux :
x x au cube r
-5 -125 1
-4 -64 8
-3 -27 0
-2 -8 1
-1 -1 8
0 0 0
1 1 1
2 8 8
3 27 0
4 64 1
5 125 8
On voit donc bien que les même chiffres reviennent (d'ailleurs, peut-on parler ici de permutation circulaire ?).
Ainsi, on a x^3 congru à 0 modulo 9 lorsque x est un multiple de 3. Donc x congru à 0 modulo 3.
Et de même pour les deux autres.
(Mais est-ce vraiment démontré ? :-/ Peut-on vraiment être sûrs qu'il est impossible de trouver un contre-exemple ???)
Quant à la 2), j'ai essayé ainsi :
On sait que 9/(x^3 + y^3 + z^3) ; il existe donc k entier relatif tel que x^3 + y^3 + z^3 = 9k = 3*(3k)
Donc 3/x^3 + y^3 + z^3.
Mais après, suis bloquée...
Enfin, merci d'avance pour tout et bonne soirée tout le monde ! 
Sayaka.
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